一份精心梳理的AP微積分知識點總結(jié)

 

　　AP微積分包括微積分AB和BC兩門，是中國申請美本的學(xué)生選考最多的科目，但是要拿5分，可不是一件容易的事!A+國際教育老師為各位準(zhǔn)備了一份精心梳理的AP微積分知識點總結(jié)，教你全面“解剖”AP微積分，拉開分?jǐn)?shù)差距的問答題解析;每種題型知識點，備考技巧以及破題思路。

　　選擇AB還是BC?

　　很多同學(xué)都會有這個疑問，考哪一個更有優(yōu)勢呢?建議數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，或者大學(xué)會選擇理工科方向的學(xué)生，可以選擇BC。每年選擇報考BC的學(xué)生也會比AB多許多。

　　AP微積分BC比AB要更難一些，其中 BC 包含了所有 AB 的考點，另外BC 包含的知識點會比 AB 多，如參數(shù)方程、極坐標(biāo)、數(shù)列和級數(shù)，申請時需要向招生委員會展現(xiàn)自己具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)與學(xué)習(xí)潛力，那么微積分BC成績可以作為最好的證明，BC為滿分5分的情況下，AB的成績也為5分。

　　AP微積分試卷結(jié)構(gòu)、評分標(biāo)準(zhǔn)分析

　　AP 微積分 AB 和 BC 的試卷結(jié)構(gòu)都是一樣的，如下圖所示。分為 Multiple choice 選擇題和Free response 問答題兩部分。分?jǐn)?shù)比例也都一樣。選擇題中的 part B 和問答題中的 part A 可以使用計算器。

　　考試內(nèi)容

　　下列考試內(nèi)容，需要學(xué)生在平時學(xué)習(xí)時注意積累和運(yùn)用，不斷加深對知識點的理解，及時查漏補(bǔ)缺。其中 BC 中的級數(shù)較難，需要記憶的內(nèi)容比較多，公式也比較長，建議學(xué)生了解每種判別方法的特點，多加練習(xí)。

　　公式

　　AP 微積分考試不提供公式表，建議在考前自己歸納各類函數(shù)的微分和積分公式，三角函數(shù)特殊角的值，級數(shù)展開式等，通過做題目來記憶，提高熟練度和公式的運(yùn)用。

　　計算器

　　AP微積分考試中，圖形計算器可以用來畫函數(shù)圖像，求方程的根、定積分、求導(dǎo)。選擇的圖形計算器一定要能畫函數(shù)圖像，常用的計算器型號，如TI84, TI nspire cas, TI nspire cx cas等，考前一定要熟練運(yùn)用計算器。

　　備考資料

　　1. 參考書：

　　巴朗 AP 微積分第 14 版：難度適中，習(xí)題較多，可以有選擇性做，很適合作為自學(xué)教材。

　　微積分英文教材：如 Calculus by Ron Larson(10th edition) , 這是一本大學(xué)微積分教材， 會比專門針對 AP 考試的書籍，將知識點講解更加詳細(xì)，可以作為參考。

　　2. 歷年真題： College Board 的歷年 Free response 題目和答案，考試前認(rèn)真做，按照標(biāo)準(zhǔn)答題進(jìn)行批改。 Multiple choice 官方不提供題目，可以根據(jù)網(wǎng)上能夠找到的題目和參考 AP 微積分參考書。 留出一至兩個月時間復(fù)習(xí)知識點和刷題。

　　評分標(biāo)準(zhǔn)

　　AP 微積分 BC 考試總分為 108 分，70 分左右就可以得到滿分 5 分，60 分左右可以得到 4 分。

　　選擇題和問答題各占了 50%，也就是 54 分。

　　1.選擇題：共45題，每題1.2分，要得5分要控制錯誤的題目在 10 道以內(nèi)。

　　2.問答題：共6題，每題9分。歷年來每道題的平均得分在5分左右，難的題可能只有3分左右。2017、2018年的問答題平均得分如下：

　　考點解析

　　每年 6 道問答題類型都差不多，前兩道主要考察計算器的運(yùn)用;后四道主要考察基礎(chǔ)概念的理解。導(dǎo)數(shù)和積分應(yīng)用結(jié)合在一起考察，共 4 題，微分方程 1 題，級數(shù) 1 題。

　　級數(shù)

　　這是每年的壓軸題，對大部分學(xué)生來說比較難，也是只有BC考試中考察的一個知識點。這部分需要記憶和理解的內(nèi)容量很大。 包括冪級數(shù)求收斂半徑、收斂區(qū)間，函數(shù)的泰勒展開，泰勒估值及拉格朗日余項、誤差。收斂與發(fā)散，主要考Geometric Series、p-Series、Alternating Series、n-th term Test、Comparison Test、Ratio test、integral test，要記住每種級數(shù)的特點及判別方法。Taylor 和 Maclaurin展開的相關(guān)公式要熟記。

　　如2018年第6題，題目給出了In(1+x)的Maclaurin級數(shù)，要判斷收斂區(qū)間并利用收斂交替級數(shù)的性質(zhì)，求前四項的誤差邊際。

　　微分或積分的應(yīng)用

　　這也是每年都會考的題目，定積分求面積、體積、弧長等，有時也會與運(yùn)動結(jié)合在一起進(jìn)行

　　考察。其中涉及到極坐標(biāo)的，是比較難的。

　　如 2018 第 5 題：這道題比較難。極坐標(biāo)下求解兩個函數(shù)圖像所圍的面積，之后考察了極坐標(biāo)求切線斜率的方法，根據(jù)質(zhì)點距極點的速度，求質(zhì)點與極軸夾角的變化率。

　　微分方程

　　微分方程包括斜率場、歐拉法則、分離變量法等。只有分離變量法能算出精確方程，其它都是近似估計。常出現(xiàn)的錯誤有求解微分方程結(jié)果時少了積分常數(shù);分離變量求積分時忘記變量分離。

　　導(dǎo)數(shù)圖像推導(dǎo)出原函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)

　　這部分考點包括極值、大小值，函數(shù)的增減性和凹凸性。

　　基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)、積分

　　主要考中值定理、連續(xù)性、黎曼和等。黎曼和有 4 種表達(dá)形式：Left-hand , Right-hand , Mid-point and Trapezoid，每年都至少考一種，不需要特別記憶公式，在考試中只要畫圖像就可以做出來。

　　如 2018 第 4 題：根據(jù)樹的時間(年)和高度(米)的表格，估算瞬時變化率，考察了中值定理，要用梯形法則估算;根據(jù)樹根直徑和時間的變化率，考察了相關(guān)變化率。

　　以上就是A+國際老師精心梳理的AP微積分知識點總結(jié)，注意無論你學(xué)AP微積分的目的是換學(xué)分還是預(yù)習(xí)課程，早下決定，早做計劃都是很有必要的。