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神奇的alevel統(tǒng)計(jì)學(xué):泊松分布與指數(shù)分布

知識點(diǎn)       時(shí)間:2022-04-28 11:01      

 

 

  統(tǒng)計(jì)學(xué)是ALevel數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,這一學(xué)科之所以如此重要,因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)涉及到了對數(shù)據(jù)的處理,幾乎絕大部分的前沿科技都會應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)學(xué),包括目前在科技領(lǐng)域最熱門的人工智能、數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)等等。2011年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Thomas J. Sargent近日甚至在世界科技創(chuàng)新論壇上表示,人工智能其實(shí)就是統(tǒng)計(jì)學(xué),只不過用了一個(gè)很華麗的辭藻,其實(shí)就是統(tǒng)計(jì)學(xué),所有的人工智能利用的都是統(tǒng)計(jì)學(xué)來解決問題。

 

神奇的alevel統(tǒng)計(jì)學(xué):泊松分布與指數(shù)分布

 

  今天A+國際的歐老師將為大家介紹統(tǒng)計(jì)學(xué)中的兩個(gè)重要的概率分布:泊松分布和指數(shù)分布。

 

泊松分布(Poisson Distribution)

 

日常生活中,大量事件是有固定頻率的。    

 

某醫(yī)院平均每小時(shí)出生3個(gè)嬰兒    

某公司平均每10分鐘接到1個(gè)電話    

某超市平均每天銷售4xx牌奶粉    

某網(wǎng)站平均每分鐘有2次訪問、前端    

 

?它們的特點(diǎn)就是,我們可以預(yù)估這些事件的總數(shù),但是沒法知道具體的發(fā)生時(shí)間。已知平均每小時(shí)出生3個(gè)嬰兒,請問下一個(gè)小時(shí),會出生幾個(gè)?
 

 

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?有可能一下子出生6個(gè),也有可能一個(gè)都不出生。這是我們沒法知道的。

泊松分布就是描述某段時(shí)間內(nèi),事件具體的發(fā)生概率。

 

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?上面就是泊松分布的公式。等號的左邊,P 表示概率,N表示某種函數(shù)關(guān)系,表示時(shí)間,表示數(shù)量,1小時(shí)內(nèi)出生3個(gè)嬰兒的概率,就表示為 P(N(1) = 3) 。等號的右邊,λ 表示事件的頻率。

 

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?接下來兩個(gè)小時(shí),一個(gè)嬰兒都不出生的概率是0.25%,基本不可能發(fā)生。

 

接下來一個(gè)小時(shí),至少出生兩個(gè)嬰兒的概率是80%。

 

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?泊松分布的圖形大概是下面的樣子。

 

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可以看到,在頻率附近,事件的發(fā)生概率最高,然后向兩邊對稱下降,即變得越大和越小都不太可能。每小時(shí)出生3個(gè)嬰兒,這是最可能的結(jié)果,出生得越多或越少,就越不可能。

 

 

指數(shù)分布(Exponential Distribution)
 

指數(shù)分布是事件的時(shí)間間隔的概率。下面這些都屬于指數(shù)分布。    


   

嬰兒出生的時(shí)間間隔    

來電的時(shí)間間隔    

奶粉銷售的時(shí)間間隔    

網(wǎng)站訪問的時(shí)間間隔    

 

?指數(shù)分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下一個(gè)嬰兒要間隔時(shí)間 t ,就等同于 之內(nèi)沒有任何嬰兒出生。

 

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?反過來,事件在時(shí)間 t 之內(nèi)發(fā)生的概率,就是1減去上面的值。

 

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?接下來15分鐘,會有嬰兒出生的概率是52.76%。

 

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?接下來的15分鐘到30分鐘,會有嬰兒出生的概率是24.92%。

 

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?指數(shù)分布的圖形大概是下面的樣子。
 

 

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?可以看到,隨著間隔時(shí)間變長,事件的發(fā)生概率急劇下降,呈指數(shù)式衰減。想一想,如果每小時(shí)平均出生3個(gè)嬰兒,上面已經(jīng)算過了,下一個(gè)嬰兒間隔2小時(shí)才出生的概率是0.25%,那么間隔3小時(shí)、間隔4小時(shí)的概率,是不是更接近于0?

 

 

總結(jié)

 

一句話總結(jié):泊松分布是單位時(shí)間內(nèi)獨(dú)立事件發(fā)生次數(shù)的概率分布,指數(shù)分布是獨(dú)立事件的時(shí)間間隔的概率分布。

 

請注意是"獨(dú)立事件",泊松分布和指數(shù)分布的前提是,事件之間不能有關(guān)聯(lián),否則就不能運(yùn)用上面的公式。
 

 

 

 

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