神奇的alevel統(tǒng)計學：泊松分布與指數(shù)分布

 

　　統(tǒng)計學是ALevel數(shù)學中的一個重要內容，這一學科之所以如此重要，因為統(tǒng)計學涉及到了對數(shù)據(jù)的處理，幾乎絕大部分的前沿科技都會應用到統(tǒng)計學，包括目前在科技領域最熱門的人工智能、數(shù)據(jù)挖掘、機器學習等等。2011年度的諾貝爾經濟學獎獲得者Thomas J. Sargent近日甚至在世界科技創(chuàng)新論壇上表示，人工智能其實就是統(tǒng)計學，只不過用了一個很華麗的辭藻，其實就是統(tǒng)計學，所有的人工智能利用的都是統(tǒng)計學來解決問題。

　　今天A+國際的歐老師將為大家介紹統(tǒng)計學中的兩個重要的概率分布：泊松分布和指數(shù)分布。

泊松分布(Poisson Distribution)

日常生活中，大量事件是有固定頻率的。    

   

某醫(yī)院平均每小時出生3個嬰兒    

某公司平均每10分鐘接到1個電話    

某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉    

某網站平均每分鐘有2次訪問、前端    

?它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數(shù)，但是沒法知道具體的發(fā)生時間。已知平均每小時出生3個嬰兒，請問下一個小時，會出生幾個？

?有可能一下子出生6個，也有可能一個都不出生。這是我們沒法知道的。

泊松分布就是描述某段時間內，事件具體的發(fā)生概率。

 

 

?上面就是泊松分布的公式。等號的左邊，P 表示概率，N表示某種函數(shù)關系，t 表示時間，n 表示數(shù)量，1小時內出生3個嬰兒的概率，就表示為 P(N(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。

 

?接下來兩個小時，一個嬰兒都不出生的概率是0.25%，基本不可能發(fā)生。

接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是80%。

?泊松分布的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，在頻率附近，事件的發(fā)生概率最高，然后向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。每小時出生3個嬰兒，這是最可能的結果，出生得越多或越少，就越不可能。

 

 

指數(shù)分布(Exponential Distribution)

       

指數(shù)分布是事件的時間間隔的概率。下面這些都屬于指數(shù)分布。    

   

嬰兒出生的時間間隔    

來電的時間間隔    

奶粉銷售的時間間隔    

網站訪問的時間間隔    

?指數(shù)分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下一個嬰兒要間隔時間 t ，就等同于 t 之內沒有任何嬰兒出生。

?反過來，事件在時間 t 之內發(fā)生的概率，就是1減去上面的值。

?接下來15分鐘，會有嬰兒出生的概率是52.76%。

?接下來的15分鐘到30分鐘，會有嬰兒出生的概率是24.92%。

?指數(shù)分布的圖形大概是下面的樣子。

?可以看到，隨著間隔時間變長，事件的發(fā)生概率急劇下降，呈指數(shù)式衰減。想一想，如果每小時平均出生3個嬰兒，上面已經算過了，下一個嬰兒間隔2小時才出生的概率是0.25%，那么間隔3小時、間隔4小時的概率，是不是更接近于0？

 

總結

 

一句話總結：泊松分布是單位時間內獨立事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，指數(shù)分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。

請注意是"獨立事件"，泊松分布和指數(shù)分布的前提是，事件之間不能有關聯(lián)，否則就不能運用上面的公式。