趣味數(shù)學(xué)：什么是自然常數(shù)e？

 

我們知道，自然界有一些十分重要的常數(shù)，如0，1，i，π，e等，它們的存在很大程度上影響了我們的學(xué)習(xí)與生活。

今天我們就來深度挖掘一下，自然常數(shù)e為什么這么重要？

 

在回答自然常數(shù)e為什么這么重要之前，我們首先要問，自然常數(shù)e是什么？簡單搜索一下可以發(fā)現(xiàn)，百度百科里面是這么解釋的：

自然常數(shù)，是數(shù)學(xué)科的一種法則, 約為2.71828，就是公為 lim(1+1/x)x，x→∞或lim(1+z)1/z，z→0，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，即超越數(shù)。

 

這個解釋給人的感覺就是很高(zhuang)端(bi)，對于數(shù)學(xué)不好的人而言只能用以下反應(yīng)來形容：

這里我們以一個銀行存款的例子簡單描述一下：

我們在銀行存款是有利息的，而存款賺到的利息又可以繼續(xù)和本金一起，賺取更多的利息。當(dāng)然，銀行不是慈善家，它們結(jié)算利息的頻率很低，要每一年甚至三年才結(jié)算一次，也就是說，在這一年或者三年的時間里，已經(jīng)獲得的利息并不能幫我們賺取更多利息。

 

下面考慮一種理想狀況，也就是假定有這樣一家銀行，它一年的存款利率是100% (簡記為1)，并允許我們自由選擇結(jié)算利息的次數(shù)。如果我們存入銀行1塊錢，那么我們一年最多能夠賺多少錢呢？

1、如果只在年底結(jié)算一次利息，由于一年的利率是1，那么一年后我們可以連本帶利得到2塊錢。

2、如果我們要求每半年就結(jié)算一次利息，由于半年的利率是1/2，那么一年后我們可以連本帶利得到2.25塊錢。

3、如果我們要求每一個月就結(jié)算一次利息，由于一個月的利率是1/12，那么一年后我們可以連本帶利得到2.61塊錢。

4、可以看到，利息結(jié)算次數(shù)越多，年底獲得的收入也就越多。如果我們腦洞大開，要求銀行時時刻刻為我們結(jié)算利息，也就是說結(jié)算利息的次數(shù)為無數(shù)次，那么我們能否得到無窮無盡的收入，實現(xiàn)數(shù)錢數(shù)到手抽筋的夢想呢？

很遺憾，這個是不可能的！因為我們最終獲得的收入其實就是下面這個式子，

而數(shù)學(xué)家的計算已經(jīng)表明，這個式子的值其實是有限的，其大小為2.718281828…，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，為了使用方便，我們就用e來代表它。所以，e就是復(fù)利的極限，或者更廣義地說，應(yīng)該是增長的極限。