趣味數(shù)學(xué)：什么是自然常數(shù)e？

 

我們知道，自然界有一些十分重要的常數(shù)，如0，1，i，π，e等，它們的存在很大程度上影響了我們的學(xué)習(xí)與生活。

 

今天我們就來(lái)深度挖掘一下，自然常數(shù)e為什么這么重要？

 

在回答自然常數(shù)e為什么這么重要之前，我們首先要問(wèn)，自然常數(shù)e是什么？簡(jiǎn)單搜索一下可以發(fā)現(xiàn)，百度百科里面是這么解釋的：

 

自然常數(shù)，是數(shù)學(xué)科的一種法則, 約為2.71828，就是公為 lim(1+1/x)x，x→∞或lim(1+z)1/z，z→0，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，即超越數(shù)。

 

這個(gè)解釋給人的感覺(jué)就是很高(zhuang)端(bi)，對(duì)于數(shù)學(xué)不好的人而言只能用以下反應(yīng)來(lái)形容：

 

 

這里我們以一個(gè)銀行存款的例子簡(jiǎn)單描述一下：

 

我們?cè)阢y行存款是有利息的，而存款賺到的利息又可以繼續(xù)和本金一起，賺取更多的利息。當(dāng)然，銀行不是慈善家，它們結(jié)算利息的頻率很低，要每一年甚至三年才結(jié)算一次，也就是說(shuō)，在這一年或者三年的時(shí)間里，已經(jīng)獲得的利息并不能幫我們賺取更多利息。

 

下面考慮一種理想狀況，也就是假定有這樣一家銀行，它一年的存款利率是100% (簡(jiǎn)記為1)，并允許我們自由選擇結(jié)算利息的次數(shù)。如果我們存入銀行1塊錢(qián)，那么我們一年最多能夠賺多少錢(qián)呢？

 

1、如果只在年底結(jié)算一次利息，由于一年的利率是1，那么一年后我們可以連本帶利得到2塊錢(qián)。

 

 

 

 

2、如果我們要求每半年就結(jié)算一次利息，由于半年的利率是1/2，那么一年后我們可以連本帶利得到2.25塊錢(qián)。

 

 

3、如果我們要求每一個(gè)月就結(jié)算一次利息，由于一個(gè)月的利率是1/12，那么一年后我們可以連本帶利得到2.61塊錢(qián)。

 

 

4、可以看到，利息結(jié)算次數(shù)越多，年底獲得的收入也就越多。

如果我們腦洞大開(kāi)，要求銀行時(shí)時(shí)刻刻為我們結(jié)算利息，也就是說(shuō)結(jié)算利息的次數(shù)為無(wú)數(shù)次，那么我們能否得到無(wú)窮無(wú)盡的收入，實(shí)現(xiàn)數(shù)錢(qián)數(shù)到手抽筋的夢(mèng)想呢？

 

 

很遺憾，這個(gè)是不可能的！因?yàn)槲覀冏罱K獲得的收入其實(shí)就是下面這個(gè)式子

 

 

而數(shù)學(xué)家的計(jì)算已經(jīng)表明，這個(gè)式子的值其實(shí)是有限的，其大小為2.718281828…，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，為了使用方便，我們就用e來(lái)代表它。所以，e就是復(fù)利的極限，或者更廣義地說(shuō)，應(yīng)該是增長(zhǎng)的極限。