前段時(shí)間，在很多同學(xué)備考Alevel數(shù)學(xué)S1中關(guān)于條件概率的一道題引起了不小的爭執(zhí)，這是一個(gè)關(guān)于紅球和籃球的概率問題，那今天在這里我們就對這個(gè)問題進(jìn)行一個(gè)解析。

 

 

老師簡介：白老師，美國特拉華大學(xué)工程學(xué)碩士，雅思高分獲得者，7年雅思托福國際課程教學(xué)，超5000小時(shí)授課，某大型機(jī)構(gòu)2015-2017年客服滿意度最高講師；主持編纂國際和語言課程叢書，發(fā)表《雅思口語必備詞匯》和《雅思口語真題集》。

 

題目是這樣的：

 

Three boxes of which each contains two balls. One box contains two identical-sized red balls, one contains two identical-sized blue balls, another one contains one identical-sized red ball and a blue ball. One ball is randomly taken from a box which is red. 

 

What is the probability that the other ball in the box is also a red ball?

不難看出，題目中告訴我們，三個(gè)盒子，每個(gè)盒子里有兩個(gè)球，一個(gè)盒子里含有兩個(gè)一樣的紅球，一個(gè)盒子里有兩個(gè)一樣的藍(lán)球，另一個(gè)盒子里有一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球，如果隨機(jī)從一個(gè)盒子里取出一個(gè)球是紅球。

 

問題，這個(gè)盒子的另外一個(gè)球也是紅球的概率是多少？

 

同學(xué)們普遍有兩種解法：

 

解法1: 概率是1/2

 

 

有人從這個(gè)和盒子里拿出了紅球，就說明這個(gè)盒子不可能裝兩個(gè)藍(lán)球，而只能是裝了兩個(gè)紅球，或者一個(gè)是紅球一個(gè)藍(lán)球

 

在這兩種可能中，只有盒子里裝了兩個(gè)紅球是滿足題目要求的，所以這種情況的概率是1/2

 

 

 

解法2：概率是2/3

 

 

這個(gè)人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子中的一個(gè)球，一共有6種可能，在這6種可能中只有三中選擇會取出紅球，他取出紅球的可能是A，B或者C

 

這三種情況下如果取出的球是A或B，那么可以滿足題目的要求，如果取出的是C那就不滿足，這三種情況有兩種是滿足的，所以答案是2/3

 

答案非常明確：1/2錯(cuò)誤，2/3正確。

 

要分析出1/2不正確其實(shí)并不難，這里我們使用S1中的條件概率進(jìn)行解析，

 

 

A和B是兩個(gè)關(guān)聯(lián)事件，P(B|A)表示A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，P(AB)

 

表示A和B都發(fā)生的概率，P(A)表示A事件發(fā)生的概率

 

對應(yīng)本題中

 

事件A第一次取出紅球，由于共有6個(gè)，其中3個(gè)紅球所以P(A)=1/2

 

事件B第二個(gè)球也是紅球，于是AB就表示倆球都是紅球，即選擇是都是紅球的盒子，因?yàn)橐还灿?個(gè)盒子，所以選擇這個(gè)都是紅球的盒子的概率P(AB)=1/3

 

帶入公式：

 

 

而概率1/2之所以不對的原因是計(jì)算中忽略了第一次取出紅球的盒子，也可能是一個(gè)紅球一個(gè)籃球這個(gè)盒子的條件，所以算出的概率是不完整的。