Alevel數(shù)學(xué)：考上劍橋的同學(xué)都使用的積分技巧

 

關(guān)于分部積分法的技巧或者說(shuō)學(xué)生經(jīng)常疑惑的地方就是兩個(gè)：

2 學(xué)生已經(jīng)判斷出U和V了，但是接下來(lái)的積分過(guò)程比較慢，想要個(gè)快速展開(kāi)分部積分表達(dá)式的方法。

首先我們要想清楚的是：分部積分應(yīng)用在哪些場(chǎng)景呢？ 換句話說(shuō)，在什么情況下，我們會(huì)考慮到使用分部積分？

主要有兩個(gè)原因：

1被積函數(shù)表達(dá)式出現(xiàn)了不同類型函數(shù)的乘積；

2 在1的基礎(chǔ)上，求udv的積分困難，但是求vdu的積分好求時(shí)。

基于以上兩點(diǎn)，我們的數(shù)學(xué)系前輩們發(fā)明了分部積分。

我們先弄明白了分部積分的誕生來(lái)源，接下來(lái)需要考慮的是，考試真題或者說(shuō)平時(shí)做題過(guò)程中，都會(huì)遇到哪些類型的函數(shù)進(jìn)行相乘呢？ 

A.    如何快速判斷出U和V？

這個(gè)U和V就好像是兩個(gè)人一起干活，一個(gè)干求導(dǎo)，一個(gè)干積分，現(xiàn)在的目標(biāo)是積分求出他們兩乘積的原函數(shù)，你是主人，要協(xié)調(diào)好這兩個(gè)人，選出那個(gè)易于求導(dǎo)的U和還易于積分的V，讓他們干自己容易干的活。諾，你看，現(xiàn)在的情況是出現(xiàn)了dv（對(duì)v求導(dǎo)）困難了，而對(duì)U求導(dǎo)比較簡(jiǎn)單（du），因此才出現(xiàn)了分部積分公式。

就拿上面的那3個(gè)類型進(jìn)行說(shuō)明吧，比如對(duì)于第一種類型，多項(xiàng)式和其他類型相乘時(shí)，我們選誰(shuí)當(dāng)做U呢？當(dāng)然是選擇求導(dǎo)簡(jiǎn)單的當(dāng)做U了，而多項(xiàng)式和三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)相乘時(shí)，很明顯對(duì)于多項(xiàng)式更容易求導(dǎo)，因此我們選擇多項(xiàng)式做為U。

對(duì)于第二種類型，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)相乘，這兩個(gè)求導(dǎo)和積分都差不多，選這個(gè)當(dāng)做U或者當(dāng)做V，都不是什么困難的事，這就是口訣為什么有 “反對(duì)冪三指”和“反對(duì)冪指三” 兩個(gè)版本的原因。

對(duì)于第三種類型，多項(xiàng)式和對(duì)數(shù)或者反三角在一塊，你這時(shí)候就要留意了，因?yàn)閷?duì)于多項(xiàng)式來(lái)講，對(duì)它求導(dǎo)或者積分都不是什么困難的事，但是對(duì)于反三角函數(shù)來(lái)說(shuō)，對(duì)它求積分好像確實(shí)是有點(diǎn)困難，反倒是對(duì)反三角求導(dǎo)比較簡(jiǎn)單一些。因此，在類型3中，我們往往將對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)作為U。

總結(jié)一下：當(dāng)我們碰到一個(gè)被積函數(shù)為兩個(gè)不同類型的相乘時(shí)，下意識(shí)要使用分部積分了，此時(shí)你可以不用背口訣，你就簡(jiǎn)單的想，我讓誰(shuí)去求導(dǎo)且剩下的那個(gè)人干積分還不是很困難，那我就選誰(shuí)當(dāng)做U。

B.如何快速展開(kāi)分部積分表達(dá)式？

 

可以看出，這個(gè)表格的第一行是寫(xiě)容易求導(dǎo)的人，對(duì)U不斷地求導(dǎo)，第二行是寫(xiě)容易積分的人，對(duì)V不斷地做積分，那么，根據(jù)表如何寫(xiě)出下來(lái)的表達(dá)式呢？ 

口訣就是：“以U為起點(diǎn)，左上右下，錯(cuò)位相乘，正負(fù)相間，最后一項(xiàng)寫(xiě)積分”。

有同學(xué)會(huì)問(wèn)：我求導(dǎo)到啥時(shí)候？正負(fù)號(hào)如何規(guī)定的？用這個(gè)表怎么寫(xiě)展開(kāi)式呢？

對(duì)于本題來(lái)講，第一行要對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)至0,。正負(fù)號(hào)是這樣規(guī)定的，規(guī)定第一項(xiàng)為正，接下來(lái)是負(fù)號(hào)，就這樣按順序?qū)懢托?。表格的最后一?xiàng)是積分，被積函數(shù)是U的最后一項(xiàng)和V的最后一項(xiàng)的乘積。按順序?qū)懲旰?，依次?xiě)下去整理即可。

再看第二個(gè)例子：

由于三角函數(shù)在求兩次導(dǎo)后，會(huì)出現(xiàn)原型，因此，這類一般第一行“求導(dǎo)至循環(huán)”。

最后，再來(lái)第三個(gè)例子：

對(duì)于反三角函數(shù)或者對(duì)數(shù)函數(shù)做U求導(dǎo)，一般只求一次導(dǎo)，即求導(dǎo)至反三角符號(hào)和對(duì)數(shù)符號(hào)消失為止。

通過(guò)以上3個(gè)例子的介紹，相信大家對(duì)這個(gè)分部積分的推廣公式如何使用應(yīng)該有了一定的印象

總結(jié)一下：對(duì)于兩個(gè)不同的函數(shù)乘在一起做積分，我們就要權(quán)衡好誰(shuí)來(lái)求導(dǎo)簡(jiǎn)單一些，誰(shuí)做積分更容易一些，然后用分部積分的推廣公式來(lái)展開(kāi)。

大家可以不用死記硬背分部積分那么長(zhǎng)的推廣公式，你就記住一點(diǎn)：我對(duì)第一行求導(dǎo)，對(duì)第二行做相應(yīng)的積分，求導(dǎo)到什么程度呢？多項(xiàng)式一般是求導(dǎo)到0，三角函數(shù)一般是求導(dǎo)至循環(huán)，反三角和對(duì)數(shù)是求導(dǎo)至符號(hào)消失，最后利用口訣：“以U為起點(diǎn)，左上右下，錯(cuò)位相乘，正負(fù)相間，最后一項(xiàng)寫(xiě)積分”的原則，就可以快速、正確的寫(xiě)出分部積分的表達(dá)式！

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