關(guān)于分部積分法的技巧或者說學(xué)生經(jīng)常疑惑的地方就是兩個：
2 學(xué)生已經(jīng)判斷出U和V了，但是接下來的積分過程比較慢，想要個快速展開分部積分表達(dá)式的方法。
首先我們要想清楚的是：分部積分應(yīng)用在哪些場景呢？ 換句話說，在什么情況下，我們會考慮到使用分部積分？
主要有兩個原因：
1被積函數(shù)表達(dá)式出現(xiàn)了不同類型函數(shù)的乘積；
2 在1的基礎(chǔ)上，求udv的積分困難，但是求vdu的積分好求時。
基于以上兩點，我們的數(shù)學(xué)系前輩們發(fā)明了分部積分。
我們先弄明白了分部積分的誕生來源，接下來需要考慮的是，考試真題或者說平時做題過程中，都會遇到哪些類型的函數(shù)進(jìn)行相乘呢？
A. 如何快速判斷出U和V？
這個U和V就好像是兩個人一起干活，一個干求導(dǎo)，一個干積分，現(xiàn)在的目標(biāo)是積分求出他們兩乘積的原函數(shù)，你是主人，要協(xié)調(diào)好這兩個人，選出那個易于求導(dǎo)的U和還易于積分的V，讓他們干自己容易干的活。諾，你看，現(xiàn)在的情況是出現(xiàn)了dv（對v求導(dǎo)）困難了，而對U求導(dǎo)比較簡單（du），因此才出現(xiàn)了分部積分公式。
就拿上面的那3個類型進(jìn)行說明吧，比如對于第一種類型，多項式和其他類型相乘時，我們選誰當(dāng)做U呢？當(dāng)然是選擇求導(dǎo)簡單的當(dāng)做U了，而多項式和三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)相乘時，很明顯對于多項式更容易求導(dǎo)，因此我們選擇多項式做為U。
對于第二種類型，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)相乘，這兩個求導(dǎo)和積分都差不多，選這個當(dāng)做U或者當(dāng)做V，都不是什么困難的事，這就是口訣為什么有 “反對冪三指”和“反對冪指三” 兩個版本的原因。
對于第三種類型，多項式和對數(shù)或者反三角在一塊，你這時候就要留意了，因為對于多項式來講，對它求導(dǎo)或者積分都不是什么困難的事，但是對于反三角函數(shù)來說，對它求積分好像確實是有點困難，反倒是對反三角求導(dǎo)比較簡單一些。因此，在類型3中，我們往往將對數(shù)和反三角函數(shù)作為U。
總結(jié)一下：當(dāng)我們碰到一個被積函數(shù)為兩個不同類型的相乘時，下意識要使用分部積分了，此時你可以不用背口訣，你就簡單的想，我讓誰去求導(dǎo)且剩下的那個人干積分還不是很困難，那我就選誰當(dāng)做U。
B.如何快速展開分部積分表達(dá)式？
可以看出，這個表格的第一行是寫容易求導(dǎo)的人，對U不斷地求導(dǎo)，第二行是寫容易積分的人，對V不斷地做積分，那么，根據(jù)表如何寫出下來的表達(dá)式呢？
口訣就是：“以U為起點，左上右下，錯位相乘，正負(fù)相間，最后一項寫積分”。
有同學(xué)會問：我求導(dǎo)到啥時候？正負(fù)號如何規(guī)定的？用這個表怎么寫展開式呢？
對于本題來講，第一行要對多項式求導(dǎo)至0,。正負(fù)號是這樣規(guī)定的，規(guī)定第一項為正，接下來是負(fù)號，就這樣按順序?qū)懢托?。表格的最后一項是積分，被積函數(shù)是U的最后一項和V的最后一項的乘積。按順序?qū)懲旰?，依次寫下去整理即可?/strong>
再看第二個例子：
由于三角函數(shù)在求兩次導(dǎo)后，會出現(xiàn)原型，因此，這類一般第一行“求導(dǎo)至循環(huán)”。
最后，再來第三個例子：
對于反三角函數(shù)或者對數(shù)函數(shù)做U求導(dǎo)，一般只求一次導(dǎo)，即求導(dǎo)至反三角符號和對數(shù)符號消失為止。
通過以上3個例子的介紹，相信大家對這個分部積分的推廣公式如何使用應(yīng)該有了一定的印象
總結(jié)一下：對于兩個不同的函數(shù)乘在一起做積分，我們就要權(quán)衡好誰來求導(dǎo)簡單一些，誰做積分更容易一些，然后用分部積分的推廣公式來展開。
大家可以不用死記硬背分部積分那么長的推廣公式，你就記住一點：我對第一行求導(dǎo)，對第二行做相應(yīng)的積分，求導(dǎo)到什么程度呢？多項式一般是求導(dǎo)到0，三角函數(shù)一般是求導(dǎo)至循環(huán)，反三角和對數(shù)是求導(dǎo)至符號消失，最后利用口訣：“以U為起點，左上右下，錯位相乘，正負(fù)相間，最后一項寫積分”的原則，就可以快速、正確的寫出分部積分的表達(dá)式！
上述就是今天介紹的主要內(nèi)容，如果對此內(nèi)容有疑問，歡迎在線咨詢我們的課程顧問老師，A+國際教育中心是國內(nèi)領(lǐng)先的國際課程輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，專注于為中小齡學(xué)員提供國際課程輔導(dǎo)，包括ks1-ks3、GCSE、IGCSE/Pre-A、A-Level、AP、IB等課程學(xué)科輔導(dǎo)，同時為申請英美澳加等國家私立初高中的學(xué)生提供入學(xué)考試輔導(dǎo)，幫助學(xué)生順利入讀國外優(yōu)秀私立學(xué)校。目前在北京、英國、美國分別設(shè)有授課中心。
