奇妙的A-Level數(shù)列，你了解透徹了嗎？

 

 

一提起Sequence（數(shù)列），大家就馬上想起那個(gè)被舉了無(wú)數(shù)次，甚至被舉爛了的例子，那就是1,2,3,4.

 

在A-Level純數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，數(shù)列（sequence and series）似乎只是一個(gè)跑龍?zhí)椎慕巧瑳](méi)什么難度，與核心知識(shí)也沒(méi)什么關(guān)聯(lián)。但我敢保證，它與核心知識(shí)（函數(shù)和微積分）的關(guān)聯(lián)絕對(duì)比你想象的要豐富得多。

 

讓我們來(lái)回憶一下數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)
 

數(shù)列(sequence/progression)是由若干個(gè)數(shù)（可能是有限個(gè)，也可能有無(wú)窮多個(gè)）線性排列而成的集合。比如1，3，5，7，9…

 

其中每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)（term），每一項(xiàng)都有它的位置(position)和值(value)。比如，上述數(shù)列的第1項(xiàng)（位置）是1（值），第2項(xiàng)是3，第3項(xiàng)是5，……。通常我們un表示第n項(xiàng)的值。因此，對(duì)于上述數(shù)列，我們可以說(shuō)u1=1，u2=3，u3=5，……。
 

定義或者表示一個(gè)數(shù)列通常有三種方式。
 

▎直接列舉
 

例1：1，3，5，7，9；

 

例2：u1=1，u2=3，u3=5，u4=7，u5=9。

 

例3：

 

n      (position)	1	2	3	4	5
un    (value)	1	3	5	7	9

 

通項(xiàng)公式general formula
 

如果un可以用n的表達(dá)式寫出，則這個(gè)表達(dá)式稱為數(shù)列的通項(xiàng)公式。利用通項(xiàng)公式，我們就可以根據(jù)項(xiàng)的位置，求出項(xiàng)的值。

 

例4： 

 

 

遞推公式recursive formula/recurrence relation

 

如果數(shù)列的相鄰項(xiàng)（un和un+1）之間有某種有規(guī)律的聯(lián)系，可以用遞推式來(lái)定義數(shù)列。

 

例5：一個(gè)數(shù)列用以下兩個(gè)式子定義，

 

不難看出，上述例4-5定義的數(shù)列是等價(jià)的，并且它們的前5項(xiàng)和例1-3是相同的。

 

▎數(shù)列的前n項(xiàng)和(the sum of the first n terms)

 

很多時(shí)候，我們不僅關(guān)心數(shù)列的第n項(xiàng)(the nth term, un)是什么，還關(guān)心數(shù)列的前n項(xiàng)和(the sum of the first n terms)。

 

前n項(xiàng)和，通常記為Sn，定義為

 

 

最常見的兩種數(shù)列

 

▎等差數(shù)列（arithmetic sequence）

 

等差數(shù)列理解起來(lái)很簡(jiǎn)單，數(shù)列中后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差值是相等的，這樣的一列數(shù)就是等差數(shù)列。相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為公差（common difference）。比如1，3，5，7，9就是個(gè)等差數(shù)列，它的公差為2。

 

這里還解釋了一下算數(shù)平均值，arithmetic mean的實(shí)際意義。落在兩個(gè)數(shù)中間的那個(gè)數(shù)，就是算數(shù)平均值，實(shí)際上，等差數(shù)列中連續(xù)的三個(gè)項(xiàng)，中間的項(xiàng)都是另外的兩個(gè)項(xiàng)的平均值。

 

我們用a表示等差數(shù)列的首項(xiàng)，d表示公差，則有

 

 

等比數(shù)列（geometric sequence）

 

等比數(shù)列的定義也是很簡(jiǎn)單，后一項(xiàng)比上前一項(xiàng)的值是相等的，這個(gè)比值叫做公比。相鄰兩項(xiàng)的比為常數(shù)(不能為0)的數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為公比（common ratio）。比如，1，2，4，8，16就是個(gè)等比數(shù)列，它的公比為2.

 

同樣此處也可以介紹幾何平均值，geometric mean，理解起來(lái)了很簡(jiǎn)單，就是連續(xù)的三個(gè)等比（幾何）數(shù)列中的項(xiàng)，中間的項(xiàng)就是兩邊的項(xiàng)的幾何平均值，中間項(xiàng)的平方等于兩邊項(xiàng)的乘積。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)一般不會(huì)考到，大家知道就行了。

 

我們用a表示等差數(shù)列的首項(xiàng)，r表示公差，則有

 

 

有的同學(xué)會(huì)問(wèn)了，你說(shuō)的這些東西我也知道，可它與函數(shù)和微積分能扯上什么關(guān)系？關(guān)系可大了。我們先關(guān)注最明顯的關(guān)聯(lián)，只看通項(xiàng)公式。

 

 

我們直接給出結(jié)論

 

數(shù)列是從自然數(shù)集（set of natural number）到任意數(shù)集的映射（函數(shù)），也就是說(shuō)，它的實(shí)質(zhì)就是定義域（domain）為自然數(shù)的函數(shù)。

 

等差數(shù)列對(duì)應(yīng)于一次函數(shù)(linear function)

 

等比數(shù)列對(duì)應(yīng)于指數(shù)函數(shù)(exponentials)

 

如果你覺(jué)得不明顯的話，提示一下——我們只需把un寫成u(n)，就明白了。如果還不清楚，請(qǐng)把n替換為x，把u替換為f。