A-Level 統(tǒng)計(jì)學(xué)干貨：同月同日生的概率

 

　　Alevel數(shù)學(xué)中的Statistics統(tǒng)計(jì)學(xué)中，很重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是概率的計(jì)算，而學(xué)好概率的計(jì)算，不僅可以用來考試，也可以應(yīng)用到生活中的很多方面。

　　今天我們就來算一下，在一個(gè)班級(jí)人數(shù)為25人的班級(jí)中，至少有兩個(gè)人生日相同的概率是多少。因?yàn)槊總€(gè)人的生日可以有365種情況，所以從給人的直覺應(yīng)該概率會(huì)很小，那實(shí)際是不是這樣呢?

　　首先，我們用大寫字母A來表示event——在這個(gè)特定人數(shù)的班級(jí)中，至少有兩個(gè)人生日相同。

　　那么如果要求出這個(gè)event所對(duì)應(yīng)的概率，可以列式為：

　　P(A) = |A|/|S|

　　其中大寫字母S代表Sample Space。

　　那么如果假設(shè)一年中的天數(shù)為365天，在所有信息未知的情況下，隨機(jī)抽取的一位同學(xué)的生日應(yīng)該有365種可能性。而這個(gè)班級(jí)一個(gè)有25位同學(xué)，那么在每一位同學(xué)互相保持Independent的同時(shí)，整個(gè)sample space所對(duì)應(yīng)的可能性便有：25365種方式。

　　現(xiàn)在我們的任務(wù)已經(jīng)進(jìn)行了一半。那么接下來，我們要面對(duì)的問題就是，如何去求解出分子部分，即Event A的可能性個(gè)數(shù)。

　　這個(gè)時(shí)候我們一起來回顧一下概率題中，一個(gè)非常重要的公式。

　　之所以回顧這個(gè)公式，是因?yàn)樵谖覀兠媾R的這道題目中，很顯然的，計(jì)算Event A的complement，AC 的可能性個(gè)數(shù)會(huì)更簡(jiǎn)單一些。

　　Event AC ——在這個(gè)班級(jí)中，沒有任何同學(xué)擁有一樣的生日日期。

　　要算出這個(gè)Event AC所對(duì)應(yīng)的可能性，這里所需要用到的，是統(tǒng)計(jì)中關(guān)于permutation這一塊的知識(shí)點(diǎn)。

　　首先一年中365天，可以被我們視作為365個(gè)不同的different items。其中我們可以用兩種方法來推斷出列式。

　　第一種，是直接代入公式的方法。我們已知總共有365個(gè)items(n=365)，受到班級(jí)人數(shù)限制，最終被選取的object為25個(gè)(r=25)，即：365 P 25

　　第二種，則是依照題目大意對(duì)這道題目做一個(gè)分析的求解過程。

　　首先我們把每一位同學(xué)做一個(gè)編號(hào)，讓Si來代替所對(duì)應(yīng)的學(xué)生，其中i =1,…25。那么第一位同學(xué)，S1 的生日可能性是最不受限制的，有365個(gè)可能性。而第二位同學(xué)，要滿足我們的條件，他的生日日期可選擇性便會(huì)受到一定的限制。因?yàn)橐獫M足，沒有任何人是在同一個(gè)日期的話，S2 便不能和s1 擁有一樣的生日日期，所以S2 對(duì)應(yīng)的可能性是365-1=364種。以此類推，到第三位同學(xué)的時(shí)候，他所對(duì)應(yīng)的可能性為365-1-1=363種。按照這種推算的方法算下去，直到最后一位同學(xué)，s25 ，他所對(duì)應(yīng)的可能性為365-24=341種，即：

　　365×364×363×……×341

　　兩種做法最后的結(jié)果都一致，接下來，首先要根據(jù)Event AC 和sample space S的可能性，求出班級(jí)里所有人都不是同一天生日的概率P’，最后，因?yàn)檎麄€(gè)sample space S的概率為1,1-P‘的概率，即為班級(jí)里有任意的兩人或兩人以上同一天生日的概率。因?yàn)橛?jì)算過程數(shù)字比較大，所以在這里就不展示了，但最后有人同一天過生日的概率相當(dāng)驚人，高達(dá)56.8%!

　　所以在25人的班級(jí)里，有至少56.8%的可能性，有兩個(gè)有緣的小伙伴是同一天的生日哦~數(shù)學(xué)真的很神奇，很多事件看起來毫無頭緒，卻都能用數(shù)學(xué)的工具來找出其內(nèi)在的規(guī)律。